Modelowanie kół zębatych w oparciu o równanie parametryczne ewolwenty w Systemie Autodesk Inventor

Proces wykonywania modeli bryłowych kół zębatych w środowisku CAD został przedstawiony w szeregu publikacji [1-5]. Do najbardziej rozpowszechnionych należą modelowanie na podstawie punktów uzyskiwanych z modelu matematycznego oraz modelowanie [2, 3] za pomocą symulacji obróbki. W zależności od stosowanego systemu komputerowego metody te dostosowuje się do specyfiki konkretnego programu.

Narzędzia do tworzenia modeli kół zębatych

Wraz z rozwojem systemów komputerowych pojawiły się dedykowane narzędzia umożliwiające tworzenie modeli bryłowych kół zębatych. Jednakże algorytmy ich działania w większości przypadków pozostają tajemnicą producenta oprogramowania. Charakteryzują się występowaniem pewnych ograniczeń skutkujących brakiem możliwości wykonania modelu o założonych parametrach. Pomimo dostępności narzędzi specjalistycznych warto jednak znać podstawowe metody modelowania kół zębatych. Odpowiednio opracowany model parametryczny generujący model 3D koła zębatego pozwala na wprowadzanie nietypowych modyfikacji. Umożliwia tym samym prowadzenie prac badawczo-rozwojowych z zakresu kół zębatych, szczególnie w przypadku kół wykonywanych z tworzyw polimerowych metodami klasycznymi i przyrostowymi.

Możliwe trudności

Problemem, jaki pojawia się przy tworzeniu modeli kół zębatych, jest proces generowania ewolwenty. W każdej z metod ewolwenta tworzona jest w sposób dyskretny na podstawie określonej liczby punktów. W metodach opartych na modelu matematycznym punktów tych jest więcej niż w przypadku ich generowania bezpośrednio w modelu CAD na podstawie zależności geometrycznych. Jednak występuje konieczność zaimportowania punktów do systemu CAD, co skutkuje możliwością pojawienia się błędów, również opracowanie modelu matematycznego nastręcza trudności. Rozwiązaniem problemów związanych z tworzeniem ewolwenty jest jej bezpośrednie wykonanie w środowisku systemu CAD na podstawie jej równań matematycznych. Ze względu na złożoność modelu dobrym rozwiązaniem jest jego sparametryzowanie.

Metoda bezpośrednia tworzenia modelu koła zębatego na podstawie równania ewolwenty

Pierwsza z przedstawionych metod generowania modelu bryłowego koła zębatego zakłada bezpośrednie uzyskanie geometrii wrębu koła zębatego na podstawie otrzymanej ewolwenty. Z uwagi na przyjętą parametryzację modelu oraz specyfikę działania polecenia pozwalającego na wygenerowanie krzywej z równania konieczne jest wyznaczenie wartości kąta odtoczenia ewolwenty. W tym celu wykonano szkic pomocniczy. Kąt odtoczenia ewolwenty jest wyznaczany za pomocą zależności geometrycznych charakterystycznych dla ewolwenty na podstawie odczytu wymiaru sterowanego uzyskanego dla punktu końcowego ewolwenty znajdującego się powyżej średnicy głów (w przedstawionym przykładzie o 0,2 m_n).

Ze względu na działanie generatora krzywych w odniesieniu do parametrów podawanych w mierze łukowej konieczne było również przeliczenie wymiaru w stopniach na radiany, zrealizowano to za pomocą dodatkowego parametru.

Następnie przystąpiono do tworzenia ewolwenty na podstawie równań:

• x = r·(cos(t)+t·sin(t))
• y = r·(sin(t)-t·cos(t))

za pomocą polecenia: Krzywa z równania, jako wartość promienia r przyjmując promień zasadniczy wynoszący:

r_b=½·m_n·z·cos(α)

gdzie:

• m_n – moduł normalny,
• z – liczba zębów,
• α – kąt przyporu.

Postępowanie po wygenerowaniu ewolwenty

Po wygenerowaniu w przedstawiony sposób ewolwenty przystąpiono do wykonywania kolejnych etapów modelowania koła zębatego. Utworzono pierścień o średnicach odpowiadających średnicom stóp i głów koła zębatego. Ewolwenta otrzymana jako Krzywa z równania nie może być używana bezpośrednio w procesie modelowania, dlatego konieczne było jej zrzutowanie.

Ze względu na to, że dla założonej liczby zębów średnica zasadnicza znajduje się powyżej średnicy stóp, po utworzeniu powierzchni ewolwentowej ekstrapolowano ją na odległość równą dwóm modułom, tak aby zapewnić przecinanie pierścienia wieńca zębatego i powierzchni. Na podstawie szkicu utworzono płaszczyzną symetrii wrębu.

Następnie po wykonaniu operacji przycięcia pierścienia płaszczyzną symetrii wrębu i powierzchnią ewolwentową oraz operacji odbicia lustrzanego i zaokrąglenia uzyskano bryłę wrębu.

Uzyskana bryła wrębu pozwoliła na wygenerowanie kompletnego modelu bryłowego koła zębatego. W tym celu wykonano bryłę otoczki koła, z której odjęto bryłę powstałą przez rozmieszczenie szykiem kołowym wrębu. Wadą modeli uzyskiwanych w przedstawiony sposób jest niedokładny sposób odwzorowania krzywej przejścia.

Tworzenia modelu koła zębatego metodą symulacji obróbki na podstawie równania ewolwenty

Druga z przedstawionych metod bazuje na bryłowej symulacji obróbki prowadzonej z wykorzystaniem dopasowanego szyku po ścieżce [4]. Dzięki zastosowaniu symulacji obróbki uzyskano pełne odwzorowanie geometrii wrębu koła zębatego. Ewolwenta w tym przypadku stosowana jest jako trajektoria ruchu punktu charakterystycznego narzędzia wynikająca z kinematyki procesu obróbki. Proces modelowania, podobnie jak poprzednio, rozpoczęto od utworzenia parametrów oraz wygenerowania szkicu definiującego kąt odtoczenia ewolwenty zapewniający wyjście bryły narzędzia z otoczki obrabianego koła. W przedstawionym przykładzie przyjęto odległość punktu końcowego ewolwenty od średnicy głów równą połowie modułu normalnego. W przypadku tworzenia ewolwenty mającej być trajektorią generuje się ją od średnicy podziałowej. Wobec tego za wartość promienia r w równaniu ewolwenty przyjęto połowę średnicy podziałowej:

r_p=½·m_n·z

Następnie po zrzutowaniu ewolwenty utworzono parametryczny szkic narzędzia uwzględniający wielkość luzu obwodowego. Na podstawie szkicu po dodaniu zaokrągleń otrzymano bryłę narzędzia. Uzyskaną bryłę narzędzia rozmieszczono szykiem prostokątnym dopasowanym do ewolwenty. Następnie uzyskaną w wyniku operacji szyku kołowego bryłę odbito lustrem. Później wykonano bryłę stanowiącą wycinek otoczki o kącie odpowiadającym połowie podziałki. W kolejnych krokach wycięto bryłę położeń obwiedniowych narzędzia od bryły wycinka otoczki.

Otrzymaną w wyniku operacji różnicy bryłę odbito względem płaszczyzny symetrii wrębu. Następnie rozmieszczono szykiem kołowym, uzyskując w ten sposób kompletne koło zębate.

Podsumowanie

Wykonanie operacji różnicy brył na wycinku otoczki koła pozwoliło na uzyskanie znacznego skrócenia czasu wykonywania operacji w odniesieniu do sytuacji, w której szykiem rozmieszczanoby operację odejmowania brył lub od otoczki odejmowano rozmieszczoną szykiem bryłę wrębu.

Wnioski

Metody modelowania parametrycznych kół zębatych walcowych na podstawie równania parametrycznego ewolwenty stanowią przydatne narzędzie w procesie projektowania przekładni zębatych. Umożliwiają (oprócz pozyskania samej geometrii) przeprowadzenie analiz współpracy a także analiz wytrzymałościowych projektowanych przekładni.

Czytaj też >> Wzrost na rynku elementów złącznych dedykowanych dla sektora lotniczego

Modele z powierzchniami bocznymi odwzorowanymi na podstawie równania ewolwenty charakteryzują się dokładnym odwzorowaniem ewolwentowego fragmentu boku zęba w postaci gładkiej powierzchni. To umożliwia ich bezpośrednie stosowanie w geometrycznej symulacji współpracy. Natomiast modele generowane z zastosowaniem metody symulacji obróbki charakteryzują się dokładnym odwzorowaniem pełnej geometrii wrębów oraz występowaniem zjawiska graniastości powierzchni. W związku z tym w przypadku ich stosowania do analiz kinematycznych pojawia się potrzeba ich wygładzenia. Dzięki pełnemu odwzorowaniu geometrii wrębu można je stosować w analizach wytrzymałościowych.

Dodatkową zaletą przedstawionych modeli jest możliwość wprowadzania w nich modyfikacji geometrii często niedostępnych w narzędziach dedykowanych do generowania kół zębatych. Są to np.: modyfikacje zarysu, przesunięcie zarysu, definiowanie współczynnika wysokości zęba.

dr inż Bartłomiej Sobolewski

Piśmiennictwo

1. 
   

   Budzik G., Pisula J., Dziubek T., Sobolewski B., Zaborniak M.: Zastosowanie systemów CAD/RP/CMM w procesie projektowania kół zębatych walcowych o zębach prostych. „Miesięcznik Naukowo-Techniczny Mechanik”, nr 12/2011, s. 988.

   
   
2. 
   

   Dziubek T., Pisula J.: Analiza dokładności modeli 3D-CAD walcowych kół zębatych otrzymywanych w procesie symulacji obróbki w odniesieniu do parametrycznych modeli powierzchniowych. „Mechanik”, nr 2/2013.

   
   
3. 
   

   Sobolak M.: Analiza i synteza współpracy powierzchni kół zębatych metodami dyskretnymi. Oficyna wydawnicza PRz, Rzeszów 2006.

   
   
4. 
   

   Sobolewski B.: Generowanie parametrycznych modeli bryłowych kół zębatych walcowych metodą dopasowanego szyku po ścieżce. „Koła Zębate”, Katowice 2017, s. 28-32.

   
   
5. 
   

   Sobolewski B.: Przegląd wybranych metod tworzenia modeli bryłowych kół zębatych w systemie Autodesk Inventor 2017. „Przegląd Mechaniczny”, nr 10/2017, s. 18-21.